Równania wymierne rozwiązuj zawsze w tej kolejności: najpierw wyznacz dziedzinę i wyklucz wartości zerujące mianowniki, następnie znajdź wspólny mianownik, pomnóż obie strony, rozwiąż równanie pomocnicze oraz sprawdź kandydatów. Dzięki temu nie uznasz za rozwiązanie liczby, dla której pierwotny mianownik jest równy zero.
Czym są równania wymierne?
Równanie wymierne zawiera wyrażenia algebraiczne zapisane w postaci ułamków, czyli ilorazów wielomianów. Najważniejszy schemat ma postać V(x)/W(x)=0, gdzie V(x) jest licznikiem, a W(x) mianownikiem. Nie każda liczba rzeczywista może być jednak podstawiona za x, ponieważ mianownik nie może przyjmować wartości 0.
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Informatorze o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023 wskazuje, że rozwiązaniem równania V(x)/W(x)=0 jest liczba, dla której jednocześnie V(x)=0 oraz W(x)≠0. Oznacza to, że samo wyzerowanie licznika nie wystarcza.
W praktyce równania z ułamkami algebraicznymi często mają liczniki i mianowniki zapisane w postaci iloczynowej. Taki zapis ułatwia znalezienie wartości wykluczonych oraz kandydatów na rozwiązania. Jest to także zakres umiejętności wskazywany przez CKE dla równań postaci V(x)/W(x)=0, gdy wielomiany V(x) i W(x) są przedstawione jako iloczyny.
Podstawowe przekształcenia warto odróżnić od procedur stosowanych przy matematyce szkolnej, ponieważ tutaj każdy krok musi uwzględniać dziedzinę. To procedura matematyczna, a nie praca regulowana ani porada zdrowotna; w rozwiązaniu zawsze należy zachować ograniczenia dziedziny równania wyjściowego.
Krok 1: wyznacz dziedzinę równania wymiernego
Dziedzina równania wymiernego obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste poza tymi, które zerują przynajmniej jeden mianownik. Aby ją wyznaczyć, przyrównaj każdy mianownik do zera, rozwiąż otrzymane równania i zapisz wartości wykluczone. Ten etap wykonaj przed skracaniem, mnożeniem lub innym przekształceniem.
Rozważ przykład CKE:
((4x+1)(x−5))/((2x−10)(x+3))=0
Mianownik jest równy (2x−10)(x+3). Zeruje się wtedy, gdy 2x−10=0 albo x+3=0. Otrzymujemy odpowiednio x=5 oraz x=−3. Dziedzina tego równania obejmuje zatem wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 5 i −3.
Zapisz ograniczenia wyraźnie: x≠5, x≠−3. Nie są one jeszcze rozwiązaniem równania. Są warunkiem, który będzie obowiązywał także po usunięciu mianowników. Jeśli później z obliczeń wyniknie x=5, tę wartość trzeba odrzucić, nawet gdy pojawi się w liczniku.
Krok 2: znajdź wspólny mianownik i usuń ułamki
Po ustaleniu dziedziny wybierz wspólny mianownik wszystkich ułamków występujących w równaniu. W przykładzie CKE wspólnym mianownikiem jest (2x−10)(x+3). Można również zapisać go jako 2(x−5)(x+3), ponieważ 2x−10=2(x−5).
Teraz pomnóż obie strony równania przez wspólny mianownik. Takie działanie jest bezpieczne tylko po zapisaniu ograniczeń dziedziny, ponieważ na rozpatrywanych liczbach mnożnik nie może być równy zero. Dla przykładu otrzymujemy:
((4x+1)(x−5))/((2x−10)(x+3))=0
Po pomnożeniu przez (2x−10)(x+3) i zachowaniu warunków x≠5 oraz x≠−3 pozostaje:
(4x+1)(x−5)=0
W ten sposób równanie wymierne zostało zastąpione równaniem iloczynowym. Nie oznacza to jednak, że wszystkie jego rozwiązania automatycznie należą do dziedziny równania wyjściowego. Dlatego wartości wykluczone trzeba zachować aż do ostatniego etapu.
Jeżeli równanie ma więcej niż jeden ułamek, wspólny mianownik powinien obejmować wszystkie różne czynniki z mianowników. Nie wolno pomijać czynnika tylko dlatego, że występuje także w liczniku. Najpierw zapisz dziedzinę, a dopiero potem wykonuj skracanie lub mnożenie.
Krok 3: rozwiąż równanie pomocnicze
Równanie (4x+1)(x−5)=0 rozwiązujemy, korzystając z zasady: iloczyn jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z jego czynników jest równy zeru. Otrzymujemy dwa równania:
4x+1=0 albo x−5=0.
Z pierwszego równania wynika x=−1/4, a z drugiego x=5. Są to na razie kandydaci, nie ostateczne rozwiązania. Podobny porządek pracy stosuje się przy zadaniach dotyczących równań liniowych, ale w równaniach wymiernych dodatkowy etap kontroli dziedziny jest konieczny.
Warto zachować postać iloczynową tak długo, jak to możliwe. Rozwijanie nawiasów nie jest potrzebne, gdy czynniki od razu pokazują miejsca zerowe. W omawianym przykładzie zapis iloczynowy prowadzi bezpośrednio do kandydatów −1/4 i 5, bez dodatkowych przekształceń.
Krok 4: sprawdź kandydatów w dziedzinie
Porównaj każdy kandydat z wartościami wykluczonymi zapisanymi w pierwszym kroku. Kandydat x=5 odpada, ponieważ zeruje mianownik (2x−10)(x+3). Dla x=5 pierwotne wyrażenie nie jest określone, więc ta liczba nie może być rozwiązaniem.
Kandydat x=−1/4 nie jest żadną z wartości wykluczonych 5 i −3. Należy do dziedziny, dlatego ostateczny zbiór rozwiązań ma postać {−1/4}. Tak właśnie przykład przedstawiony przez CKE prowadzi od dwóch wyników równania pomocniczego do jednego dopuszczalnego rozwiązania.
Kontrola nie jest formalnością. Usunięcie mianowników może wytworzyć równanie, które ma szerszy zbiór rozwiązań niż równanie wyjściowe, jeśli zapomnisz o warunku, że wspólny mianownik jest różny od zera. W przypadku prostych przekształceń algebraicznych warto także porównać wynik z warunkami zapisanymi na początku.
| Równanie | Wartości wykluczone | Wspólny mianownik | Kandydaci z równania po usunięciu mianowników | Dopuszczalne rozwiązania |
|---|---|---|---|---|
| ((4x+1)(x−5))/((2x−10)(x+3))=0 | x≠5, x≠−3 | (2x−10)(x+3)=2(x−5)(x+3) | x=−1/4, x=5 | x=−1/4 |
| ((4x+1)(x−5))/(2(x−5)(x+3))=0 | x≠5, x≠−3 | 2(x−5)(x+3) | Po skróceniu: 4x+1=0, więc x=−1/4 | x=−1/4 |
| V(x)/W(x)=0 | W(x)≠0 | W(x) | Rozwiązania równania V(x)=0 | Tylko kandydaci należący do dziedziny |
Wartości wykluczone wyznacza się przed mnożeniem przez wspólny mianownik. W tabeli użyto przykładu z informatora CKE; zapis ułamkowy oznacza iloraz licznika przez mianownik.
Najczęstsze błędy
Przyjęcie zera mianownika za rozwiązanie. Jeśli kandydat zeruje mianownik, nie należy do dziedziny, niezależnie od tego, czy pojawił się po rozwiązaniu licznika. W przykładzie CKE x=5 jest właśnie takim odrzuconym kandydatem.
Skracanie bez zapisania ograniczenia. W wyrażeniu ((4x+1)(x−5))/(2(x−5)(x+3)) można skrócić czynnik x−5, ale wcześniej trzeba zapisać x≠5 oraz x≠−3. Po skróceniu pozostaje 4x+1=0, lecz ograniczenie x≠5 nadal obowiązuje.
Pominięcie któregoś mianownika. Gdy równanie zawiera kilka ułamków, sprawdź każdy mianownik osobno. Jeden pominięty czynnik może doprowadzić do dopuszczenia wartości, dla której równanie wyjściowe nie ma sensu.
Zakończenie obliczeń przed kontrolą. Wyniki równania pomocniczego zapisuj jako kandydatów. Dopiero porównanie z dziedziną pozwala wskazać rozwiązanie. Przy analizie miejsc zerowych pomocne bywają też pojęcia związane z funkcją liniową, ale warunek niezerowego mianownika pozostaje specyficzny dla równania wymiernego.
Powiązany temat: równania z wartością bezwzględną.
Zobacz też: równania wykładnicze.
Najczęstsze pytania
Jak wyznaczyć dziedzinę równania wymiernego?
Przyrównaj każdy mianownik do zera, rozwiąż otrzymane równania i wyklucz uzyskane wartości. Dla mianownika (2x−10)(x+3) otrzymujemy x=5 oraz x=−3, więc dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste poza tymi dwiema wartościami.
Jak usunąć mianowniki z równania?
Najpierw zapisz ograniczenia dziedziny. Potem pomnóż obie strony przez wspólny mianownik albo najmniejszy wspólny mianownik wyrażeń. Takie przekształcenie jest bezpieczne tylko wtedy, gdy mnożnik nie jest równy zero na rozpatrywanej dziedzinie.
Dlaczego trzeba sprawdzać rozwiązanie równania wymiernego?
Przekształcenia mogą dać kandydata, który zeruje pierwotny mianownik. W przykładzie CKE x=5 wynika z licznika, ale nie należy do dziedziny, dlatego nie jest rozwiązaniem.
Źródła
- Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023 — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2022/2023, Zadanie 7, s. 19–20 dokumentu PDF
- Uwaga Maturzyści! WZORY I TABLICE — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2009, strona informacyjna CKE dotycząca zestawu wzorów matematycznych
Tekst został utworzony przy pomocy sztucznej inteligencji (modeli językowych).
Czy ten poradnik był pomocny? Oceń go:
Ten artykuł nie ma jeszcze ocen.
