Równania kwadratowe rozwiązuje się według stałej procedury: zapisz równanie jako ax² + bx + c = 0, odczytaj współczynniki a, b i c, oblicz deltę ze wzoru Δ = b² − 4ac, a następnie wybierz wzór na pierwiastki zależnie od tego, czy delta jest dodatnia, równa zero czy ujemna.
Czym jest równanie kwadratowe?
Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0, przy czym a ≠ 0. Litery a, b i c oznaczają współczynniki równania: a stoi przy x², b przy x, a c jest wyrazem wolnym. Warunek a ≠ 0 jest konieczny, ponieważ właśnie obecność wyrazu ax² decyduje o kwadratowym charakterze równania.
Przed rozpoczęciem obliczeń trzeba doprowadzić wszystkie wyrazy do jednej strony i uporządkować je według potęg x. Dopiero wtedy można poprawnie odczytać trzy współczynniki. Na przykład w równaniu x² − 5x + 6 = 0 mamy a = 1, b = −5 oraz c = 6. Z kolei w równaniu x² + 2x + 5 = 0 współczynniki wynoszą a = 1, b = 2 i c = 5.
W tablicach Wybrane wzory matematyczne CKE z 2024 roku funkcję kwadratową zapisano jako f(x) = ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0 oraz b, c ∈ ℝ. Ta sama postać służy do rozwiązywania równań kwadratowych. Umiejętność rozwiązywania takich równań należy także do wymagań podstawy programowej w zakresie podstawowym.
Delta — wzór i kolejność obliczeń
Delta, nazywana również wyróżnikiem równania kwadratowego, jest obliczana według wzoru:
Δ = b² − 4ac
Kolejność działań ma znaczenie. Najpierw odczytaj a, b i c z postaci ogólnej, potem podnieś b do kwadratu, oblicz iloczyn 4ac, a na końcu wykonaj odejmowanie. Trzeba szczególnie uważać na znak współczynnika b. Jeśli b = −5, to we wzorze pojawia się (−5)², a nie −5².
Przy rachunkach pomocna jest sprawność w podstawowych działaniach, podobnie jak przy innych zadaniach rachunkowych, w których przydaje się dobrze opanowana tabliczka mnożenia. Nie należy jednak zastępować kolejnych etapów zgadywaniem. Po obliczeniu delty trzeba porównać ją z zerem.
Jeśli Δ > 0, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Jeśli Δ = 0, ma jedno rozwiązanie rzeczywiste, zapisane jako pierwiastek podwójny. Jeśli Δ < 0, nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Gdy delta jest dodatnia
Dla Δ > 0 stosuje się dwa wzory na pierwiastki równania kwadratowego:
x₁ = (−b − √Δ)/(2a)
x₂ = (−b + √Δ)/(2a)
Rozważmy równanie x² − 5x + 6 = 0. Współczynniki to a = 1, b = −5 i c = 6. Najpierw obliczamy deltę:
Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa różne rozwiązania. Ponieważ √Δ = √1 = 1, otrzymujemy:
x₁ = (−(−5) − 1)/(2 · 1) = (5 − 1)/2 = 2
x₂ = (−(−5) + 1)/(2 · 1) = (5 + 1)/2 = 3
Pierwiastki równania kwadratowego wynoszą zatem x₁ = 2 oraz x₂ = 3. Jest to przykład zgodny z przykładowym rozwiązaniem CKE z 2022 roku. Warto sprawdzić otrzymane wartości przez podstawienie ich do równania.
Gdy delta jest równa zero
Jeżeli Δ = 0, oba wzory prowadzą do tej samej wartości. Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste, nazywane pierwiastkiem podwójnym:
x₁ = x₂ = −b/(2a)
Przykładem jest równanie x² − 4x + 4 = 0. Odczytujemy a = 1, b = −4 i c = 4, a następnie liczymy:
Δ = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0
Wobec tego:
x₁ = x₂ = −(−4)/(2 · 1) = 4/2 = 2
Zapis x₁ = x₂ = 2 nie oznacza dwóch różnych rozwiązań. Są to dwa identyczne zapisy tej samej wartości, dlatego równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste. Określenie „pierwiastek podwójny” opisuje właśnie taką sytuację.
| Współczynniki a, b, c | Równanie | Wartość delty | Liczba rozwiązań rzeczywistych | Obliczone pierwiastki |
|---|---|---|---|---|
| a = 1, b = −5, c = 6 | x² − 5x + 6 = 0 | Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 1 | 2 | x₁ = 2, x₂ = 3 |
| a = 1, b = −4, c = 4 | x² − 4x + 4 = 0 | Δ = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 0 | 1 | x₁ = x₂ = 2 |
| a = 1, b = 2, c = 5 | x² + 2x + 5 = 0 | Δ = 2² − 4 · 1 · 5 = −16 | 0 | brak pierwiastków rzeczywistych |
W każdym przykładzie a ≠ 0; dodatnia delta daje dwa rozwiązania, delta równa zero jedno rozwiązanie podwójne, a ujemna delta brak rozwiązań rzeczywistych, zgodnie z tablicami CKE z 2024 roku.
Gdy delta jest ujemna
Jeżeli Δ < 0, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Przykładem jest x² + 2x + 5 = 0, dla którego a = 1, b = 2 i c = 5:
Δ = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16
Nie można obliczyć rzeczywistego pierwiastka kwadratowego z liczby −16, dlatego nie przechodzimy do wzorów na x₁ i x₂. Poprawny wniosek brzmi: równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych. Opisywane tutaj pierwiastki są rozwiązaniami w zbiorze liczb rzeczywistych; dla Δ < 0 nie należy podawać rozwiązań rzeczywistych.
Nie należy mylić tego przypadku z błędem rachunkowym. Ujemna delta jest pełnoprawnym wynikiem obliczeń i właśnie ona informuje o braku rozwiązań rzeczywistych. Inne zadania matematyczne, na przykład związane z twierdzeniem Pitagorasa, mają własne wzory i warunki, dlatego nie można przenosić procedury z równania kwadratowego bez sprawdzenia rodzaju problemu.
Procedura w skrócie
Rozwiązywanie równania kwadratowego można zamknąć w pięciu krokach:
- Doprowadź równanie do postaci ogólnej ax² + bx + c = 0 i sprawdź, czy a ≠ 0.
- Odczytaj współczynniki a, b oraz c, pamiętając o znakach liczb.
- Oblicz deltę ze wzoru Δ = b² − 4ac.
- Wybierz przypadek: Δ > 0 oznacza dwa rozwiązania, Δ = 0 jedno rozwiązanie podwójne, a Δ < 0 brak rozwiązań rzeczywistych.
- Oblicz i sprawdź pierwiastki, podstawiając otrzymane wartości do równania.
Przy dodatniej delcie użyj dwóch wzorów x₁ = (−b − √Δ)/(2a) oraz x₂ = (−b + √Δ)/(2a). Przy delcie równej zero wystarczy x = −b/(2a). Przy delcie ujemnej zakończ rozwiązanie informacją o braku pierwiastków rzeczywistych. Taki schemat jest zgodny z tablicami wzorów CKE i wymaganiem podstawy programowej dotyczącym rozwiązywania równań kwadratowych.
Zobacz też: nierówności kwadratowe.
Czytaj również: funkcja liniowa.
Najczęstsze pytania
Jak rozwiązać równanie kwadratowe?
Najpierw doprowadź je do postaci ax² + bx + c = 0 i odczytaj a, b oraz c. Następnie oblicz Δ = b² − 4ac: dla Δ > 0 użyj dwóch wzorów na x₁ i x₂, dla Δ = 0 zastosuj x = −b/(2a), a dla Δ < 0 zapisz, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Co oznacza delta równa zero?
Delta równa zero oznacza dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. Jest to pierwiastek podwójny: x₁ = x₂ = −b/(2a).
Kiedy równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych?
Wtedy, gdy jego delta jest ujemna, czyli Δ < 0. W takim przypadku równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Źródła
- Wybrane wzory matematyczne CKE, dział 5. Funkcja kwadratowa — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2024, PDF, s. 5–6
- Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 30 stycznia 2018 r. w sprawie podstawy programowej — tekst jednolity — Internetowy System Aktów Prawnych, 2024, Dz.U. 2024 poz. 1019, s. 327–328, dział III, pkt 4
- Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023 — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2022, PDF, s. 28, przykład równania z² − 5z + 6 = 0
Tekst został utworzony przy pomocy sztucznej inteligencji (modeli językowych).
Czy ten poradnik był pomocny? Oceń go:
Ten artykuł nie ma jeszcze ocen.
