Równania z wartością bezwzględną rozwiązujesz najpierw, sprawdzając znak prawej strony. Dla |A|=b, gdy b>0, rozpatrujesz A=b i A=−b; gdy b=0, rozwiązujesz A=0; gdy b<0, rozwiązań nie ma. Przy kilku modułach dzielisz oś na przedziały.
Wartość bezwzględna jako odległość
Wartość bezwzględna liczby opisuje jej odległość od zera, dlatego zawsze jest nieujemna. Zapis |x−a| oznacza odległość liczby x od punktu a na osi liczbowej. Równanie |x−a|=r pyta więc, dla jakich punktów odległość od a wynosi dokładnie r jednostek.
Jeżeli r>0, na osi liczbowej znajdują się dwa takie punkty: jeden po lewej stronie punktu a, drugi po prawej. Otrzymujesz zatem x=a−r oraz x=a+r. Gdy r=0, pozostaje tylko punkt x=a. Dla liczby ujemnej, na przykład r=−2, odległość nie może być równa prawej stronie.
Takie spojrzenie jest szczególnie użyteczne w matematyce szkolnej, ponieważ pozwala zrozumieć, dlaczego jedno proste równanie może prowadzić do dwóch wartości niewiadomej, a nie tylko do jednej.
Podstawowa reguła |A|=b
Każde równanie z modułem warto najpierw sprowadzić do postaci |A|=b. Następnie stosujesz trzy przypadki:
Więcej na ten temat: nierówności kwadratowe
- Jeśli b>0, zapisujesz dwa równania: A=b oraz A=−b.
- Jeśli b=0, zapisujesz tylko A=0.
- Jeśli b<0, zbiór rozwiązań jest pusty, czyli ∅.
Przykładowo równanie |2x+1|=0 nie daje dwóch przypadków. Trzeba rozwiązać 2x+1=0, więc x=−1/2. Z kolei |x+4|=−2 nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych, bo wartość bezwzględna nie przyjmuje wartości ujemnych.
Ta reguła jest pierwszym krokiem także wtedy, gdy moduł znajduje się wewnątrz drugiego modułu. W przykładzie ||x+1|−2|=3 prawa strona jest dodatnia, więc najpierw rozpatrujesz dwa równania: |x+1|−2=3 oraz |x+1|−2=−3.
| Równanie | Warunki przypadku | Rozwiązania częściowe | Końcowy zbiór rozwiązań |
|---|---|---|---|
| |x−3|=5 | 5>0 | x−3=5 lub x−3=−5; x=8 lub x=−2 | {−2, 8} |
| |2x+1|=0 | Prawa strona równa 0 | 2x+1=0; x=−1/2 | {−1/2} |
| |x+4|=−2 | −2<0 | Brak równania równoważnego w liczbach rzeczywistych | ∅ |
| ||x+1|−2|=3 | 3>0; dwa poziomy wartości bezwzględnej | |x+1|−2=3 lub |x+1|−2=−3; dalej |x+1|=5 lub |x+1|=−1 | {−6, 4} |
| |x+3|+|x−5|=12 | Punkty podziału: x=−3 i x=5 | Dla x≤−3: −2x+2=12; dla −3≤x≤5: 8=12 — brak; dla x≥5: 2x−2=12 | {−5, 7} |
Rozwiązywanie przez rozpisanie przypadków
Drugą metodą jest rozpisanie definicji wartości bezwzględnej. Dla wyrażenia |x−a| sprawdzasz znak wyrażenia x−a:
- gdy x−a≥0, czyli x≥a, wtedy |x−a|=x−a;
- gdy x−a<0, czyli x<a, wtedy |x−a|=−(x−a).
Po rozpisaniu przypadku rozwiązujesz zwykłe równanie, często podobne do tych omawianych jako równania liniowe. Najważniejszy obowiązek pojawia się na końcu: otrzymany wynik musi należeć do przedziału przypisanego danemu przypadkowi. Jeśli rozwiązanie narusza ten warunek, odrzucasz je.
Przy dwóch lub większej liczbie modułów wyznaczasz punkty, w których wyrażenia pod modułami są równe zero. Te punkty dzielą oś liczbową na przedziały. Na każdym przedziale znaki wyrażeń są stałe, więc możesz zastąpić moduły odpowiednimi wyrażeniami bez kresek.
Przykład z jedną wartością bezwzględną
Rozwiążmy równanie |x−3|=5. Ponieważ 5>0, stosujemy podstawową regułę i zapisujemy dwa równania:
x−3=5 lub x−3=−5.
Pierwsze równanie daje x=8, a drugie x=−2. Końcowy zbiór rozwiązań to {−2, 8}. Interpretacja odległościowa potwierdza wynik: liczby −2 i 8 są oddalone od 3 o 5 jednostek.
Warto przećwiczyć również przypadek zerowy: |2x+1|=0. Moduł może być równy zeru tylko wtedy, gdy jego wyrażenie wewnętrzne wynosi zero. Stąd 2x+1=0, a więc x=−1/2. Dla porównania |x+4|=−2 od razu kończysz jako ∅.
Przykład z dwiema wartościami bezwzględnymi
Rozważmy równanie |x+3|+|x−5|=12. Punkty podziału wyznaczasz z równań x+3=0 i x−5=0, więc są to x=−3 oraz x=5. Oś dzielisz na trzy przedziały: x≤−3, −3≤x≤5 oraz x≥5.
Dla x≤−3 oba wyrażenia mają odpowiednie znaki, dlatego lewa strona przyjmuje postać −2x+2. Rozwiązujesz −2x+2=12, otrzymując x=−5. Wynik spełnia warunek x≤−3, więc zostaje.
Dla −3≤x≤5 suma upraszcza się do stałej 8. Równanie 8=12 jest sprzeczne, więc w tym przedziale nie ma rozwiązań.
Dla x≥5 lewa strona wynosi 2x−2. Równanie 2x−2=12 daje x=7, a liczba 7 spełnia warunek x≥5. Ostatecznie otrzymujesz {−5, 7}. Taki zapis przypadków jest również przydatny w zadaniach, w których wartość bezwzględna zadania występuje obok innych wyrażeń, podobnie jak w ćwiczeniach z równaniami wymiernymi, gdzie trzeba pilnować warunków dziedziny.
Podwójny moduł można rozwiązać analogicznie. Dla ||x+1|−2|=3 najpierw otrzymujesz |x+1|−2=3 lub |x+1|−2=−3. Dalej wychodzi |x+1|=5 albo |x+1|=−1. Drugi wariant odpada, a pierwszy daje x=4 lub x=−6.
Jak sprawdzić wynik
Sprawdzanie wykonuj w dwóch etapach. Najpierw podstaw każdą znalezioną liczbę do równania wyjściowego i oblicz wartości bezwzględne. Następnie, jeśli korzystałeś z przypadków, sprawdź, czy liczba należy do właściwego przedziału.
Dla równania |x−3|=5 podstawienie x=8 daje |8−3|=|5|=5, a podstawienie x=−2 daje |−2−3|=|−5|=5. Oba wyniki są poprawne. Przy równaniu |x+3|+|x−5|=12 sprawdzasz osobno x=−5 i x=7; oba dają sumę równą 12.
Na egzaminie warto zapisać warunki przy każdym przypadku, a nie tylko same liczby. Informator CKE na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2014/2015 wskazuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, między innymi przykłady ||x+1|−2|=3 oraz |x+3|+|x−5|>12. Informator na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023 zawiera przykładowe zadania wraz z rozwiązaniami i wymaganiami podstawy programowej.
To procedura matematyczna, a nie porada prawna ani medyczna; w edukacji należy dopasować przykłady i zakres do aktualnej podstawy programowej oraz informatora CKE obowiązującego dla danego egzaminu.
Powiązany temat: równania wykładnicze.
Zobacz też: równania logarytmiczne.
Najczęstsze pytania
Jak rozwiązać równanie z wartością bezwzględną?
Najpierw sprawdź znak prawej strony. Jeśli masz |A|=b i b>0, zapisz dwa równania: A=b oraz A=−b, a następnie sprawdź otrzymane liczby w równaniu wyjściowym.
Kiedy równanie z modułem nie ma rozwiązania?
Na pewno wtedy, gdy wartość bezwzględna jest równa liczbie ujemnej, na przykład |x+4|=−2. Brak rozwiązań może też wynikać z warunków poszczególnych przypadków albo z niespełnienia równania po podstawieniu.
Jak sprawdzić wynik równania z wartością bezwzględną?
Podstaw każdą liczbę do pierwotnego równania, oblicz wartości bezwzględne i porównaj obie strony. Przy rozpisywaniu przypadków sprawdź dodatkowo, czy rozwiązanie należy do właściwego przedziału.
Źródła
- Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2014/2015 — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2014/2015, Wymaganie 3.9.R, s. 65
- Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023 — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2022/2023, Opis informatora, s. 4
- Rozporządzenia i akty prawne — podstawa programowa — Internetowy System Aktów Prawnych, 2017, WDU20170000059
Tekst został utworzony przy pomocy sztucznej inteligencji (modeli językowych).
Czy ten poradnik był pomocny? Oceń go:
Ten artykuł nie ma jeszcze ocen.
