Funkcja liniowa ma postać f(x)=ax+b. Współczynnik a określa nachylenie prostej i jej monotoniczność, a b wskazuje punkt przecięcia wykresu z osią Oy. Dla a≠0 miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy ze wzoru x₀=−b/a. Wykres wyznaczają dwa punkty, najczęściej (0,b) oraz (x₀,0).
Funkcja liniowa — definicja i postać wzoru
Funkcja liniowa jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Jej wykresem jest prosta. Wartość funkcji dla argumentu 0 wynosi f(0)=b, dlatego prosta przecina oś Oy w punkcie (0,b).
Sam wzór pozwala od razu odczytać dwie informacje. Liczba a opisuje zmianę wartości funkcji, gdy argument zwiększa się o 1, natomiast liczba b określa wartość początkową na osi Oy. Na przykład dla f(x)=2x−3 punkt przecięcia z osią Oy to (0,−3), ponieważ b=−3.
Interpretowanie współczynników funkcji liniowej oraz odczytywanie z wykresu miejsc zerowych i przedziałów monotoniczności należy do wymagań podstawy programowej matematyki dla liceum ogólnokształcącego i technikum na rok szkolny 2025/2026, wskazanych w wymaganiach V.4–V.5.
Co oznaczają współczynniki a i b?
Współczynnik a nazywa się współczynnikiem kierunkowym. Decyduje o nachyleniu wykresu oraz o tym, jak funkcja zachowuje się przy zwiększaniu argumentu:
- gdy a>0, funkcja jest rosnąca;
- gdy a<0, funkcja jest malejąca;
- gdy a=0, funkcja jest stała.
Jeżeli a=2, wzrost argumentu o 1 powoduje wzrost wartości funkcji o 2. Jeżeli a=−1/3, wzrost argumentu o 1 powoduje spadek wartości o 1/3. Wartość b nie zmienia monotoniczności i spełnia zależność f(0)=b; wykres przecina oś Oy w punkcie (0,b).
W praktyce diagnostyka zadania zaczyna się od sprawdzenia znaku a. Błędne rozpoznanie znaku prowadzi do odwrócenia odpowiedzi: funkcja z a=−1/3 jest malejąca, a nie rosnąca. Z kolei przypadek a=0 wymaga osobnego potraktowania, ponieważ wtedy nie wolno stosować wzoru x₀=−b/a.
Wykres funkcji liniowej
Wykres funkcji liniowej jest prostą, więc do jego narysowania wystarczą dwa różne punkty. Najwygodniej zaznaczyć punkt przecięcia z osią Oy, czyli (0,b), a następnie obliczyć miejsce zerowe i zaznaczyć punkt (x₀,0). Połączenie tych punktów wyznacza całą prostą.
Dla funkcji f(x)=2x−3 mamy b=−3, więc pierwszy punkt to (0,−3). Miejsce zerowe wynosi x₀=3/2, a drugi punkt to (3/2,0). Nachylenie jest dodatnie, dlatego prosta wznosi się od lewej do prawej.
Dla funkcji f(x)=−1/3x+7/3 wykres przechodzi przez (0,7/3) i (7,0). Ponieważ a=−1/3, prosta opada. Ten sposób rysowania jest bezpieczniejszy niż wybieranie przypadkowych punktów, bo oba punkty wynikają bezpośrednio ze wzoru.
W zadaniach, w których pojawia się porównywanie obszarów na osi liczbowej, przydatne może być także rozróżnienie między wykresem prostej a wykresami omawianymi w materiałach o nierównościach kwadratowych. W funkcji liniowej podstawą pozostają dwa punkty i znak współczynnika a.
| Wartości a i b | Miejsce zerowe | Monotoniczność | Punkty potrzebne do narysowania wykresu |
|---|---|---|---|
| a=2, b=−3 | x₀=3/2 | rosnąca | (0,−3) oraz (3/2,0) |
| a=−1/3, b=7/3 | x₀=7 | malejąca | (0,7/3) oraz (7,0) |
| a=0, b=5 | brak miejsca zerowego | stała | np. (0,5) oraz (1,5) |
| a=0, b=0 | każda liczba rzeczywista | stała | np. (0,0) oraz (1,0) |
W tabeli x₀ oznacza argument miejsca zerowego. Dla a≠0 wykres można narysować przez punkty (0,b) i (x₀,0); dla a=0 należy zaznaczyć dwa punkty o tej samej wartości y.
Miejsce zerowe funkcji liniowej
Miejsce zerowe to taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0. Na wykresie jest to pierwsza współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Ox. Aby je znaleźć, rozwiązujemy równanie ax+b=0.
Jeżeli a≠0, przenosimy b na drugą stronę i dzielimy przez a:
x₀=−b/a.
Dla f(x)=2x−3 otrzymujemy x₀=−(−3)/2=3/2. Dla f(x)=−1/3x+7/3 otrzymujemy x₀=−(7/3)/(−1/3)=7. W obu przypadkach punkt (x₀,0) należy do wykresu.
Przypadek a=0 trzeba rozpatrzyć oddzielnie. Gdy b≠0, funkcja ma postać f(x)=b i nie osiąga wartości 0, więc nie ma miejsca zerowego. Gdy a=0 i b=0, wzór przyjmuje postać f(x)=0, a miejscem zerowym jest każda liczba rzeczywista. Podobne rozdzielenie przypadków jest ważne przy rozwiązywaniu zadań, w których występują także równania kwadratowe, choć tam metoda obliczeń jest inna.
Przykład CKE
W zadaniu 25 z informatora CKE z 2014 roku podano f(1)=2 oraz punkt P=(−2,3). Dla funkcji f(x)=ax+b te dane tworzą układ dwóch równań:
2=a+b
3=−2a+b
Odejmując równania, otrzymujemy a=−1/3. Po podstawieniu do pierwszego równania dostajemy b=7/3. Zatem szukana funkcja ma wzór f(x)=−1/3x+7/3.
Współczynnik a jest ujemny, więc funkcja jest malejąca. Punkt przecięcia z osią Oy to (0,7/3), a miejsce zerowe wynosi x₀=7. Wykres przechodzi więc przez punkty (0,7/3) i (7,0). Taki zapis pokazuje pełną kontrolę nad trzema elementami: wzorem, monotonicznością i miejscem zerowym.
Temat nie dotyczy pracy regulowanej ani porad zdrowotnych; przy opracowaniu należy zachować zgodność z aktualną podstawą programową i korzystać z oficjalnych materiałów CKE.
Powiązany temat: równania liniowe.
Zobacz też: równania wymierne.
Najczęstsze pytania
Co oznaczają a i b w funkcji liniowej?
a to współczynnik kierunkowy: określa nachylenie prostej i monotoniczność funkcji. b to wyraz wolny: f(0)=b, więc wykres przecina oś Oy w punkcie (0,b).
Jak znaleźć miejsce zerowe funkcji liniowej?
Przyrównaj wzór do zera: ax+b=0. Jeśli a≠0, otrzymasz x₀=−b/a, a punkt (x₀,0) możesz wykorzystać do narysowania wykresu.
Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca?
Funkcja f(x)=ax+b jest rosnąca, gdy a>0. Wtedy wraz ze wzrostem x rośnie także wartość funkcji.
Źródła
- Matematyka — liceum ogólnokształcące i technikum — podstawa programowa — Zintegrowana Platforma Edukacyjna, 2025/2026, wymagania V.4–V.5
- Współczynniki funkcji liniowej — Funkcja liniowa i jej wykres — Zintegrowana Platforma Edukacyjna, 2026, materiał dydaktyczny
- Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015 — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2014, zadanie 25, s. 52
Tekst został utworzony przy pomocy sztucznej inteligencji (modeli językowych).
Czy ten poradnik był pomocny? Oceń go:
Ten artykuł nie ma jeszcze ocen.
