Nierówności kwadratowe rozwiązujesz przez analizę znaku funkcji f(x)=ax²+bx+c. Przenieś wszystkie wyrażenia na jedną stronę, znajdź miejsca zerowe, sprawdź, czy a>0, czy a<0, a następnie odczytaj właściwe przedziały z wykresu paraboli. Końce przedziałów zależą od tego, czy występuje znak ostry, czy nieostry.
Czym są nierówności kwadratowe?
Nierówność kwadratowa to nierówność, którą można zapisać za pomocą funkcji kwadratowej:
f(x)=ax²+bx+c, gdzie a≠0.
W praktyce po jednej stronie nierówności znajduje się wyrażenie kwadratowe, a po drugiej najczęściej zero, na przykład 3x²−8x+4<0. Zadanie polega na wskazaniu wszystkich wartości x, dla których funkcja przyjmuje znak wymagany przez nierówność.
Najważniejszą informacją o wykresie jest znak współczynnika a. Gdy a>0, ramiona paraboli są skierowane do góry. Gdy a<0, ramiona są skierowane do dołu. Od tego zależy układ znaków funkcji po obu stronach jej miejsc zerowych.
Centralna Komisja Egzaminacyjna w informatorze obowiązującym od roku szkolnego 2024/2025 wskazuje, że zdający rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe. Warto więc traktować tę procedurę jako schemat, który można stosować w kolejnych zadaniach.
Krok 1: przenieś wszystko na jedną stronę
Najpierw wykonaj takie przekształcenia, aby po jednej stronie pozostał trójmian kwadratowy, a po drugiej zero. Zachowaj równoważność nierówności: przy przenoszeniu składników zmieniaj znak.
Przykład wskazany w informatorze CKE z 2024 roku ma postać:
(3x−4)(x−1)<x.
Rozwijamy iloczyn:
3x²−3x−4x+4<x.
Porządkujemy wyrazy i przenosimy x na lewą stronę:
3x²−8x+4<0.
Od tego momentu analizujemy funkcję f(x)=3x²−8x+4. To inny typ procedury niż twierdzenie Pitagorasa, ponieważ tutaj o wyniku decydują miejsca zerowe i znaki funkcji, a nie długości boków trójkąta.
Jeśli w zadaniu występują nawiasy, warto najpierw dokładnie rozwinąć iloczyn. Błąd w znaku przy składniku −8x zmieni później wyróżnik, miejsca zerowe i cały zbiór rozwiązań.
Krok 2: wyznacz miejsca zerowe
Miejsca zerowe wyznaczamy, rozwiązując równanie odpowiadające lewej stronie nierówności:
3x²−8x+4=0.
Najpierw obliczamy wyróżnik:
Δ=b²−4ac.
Dla a=3, b=−8 oraz c=4 otrzymujemy:
Δ=(−8)²−4·3·4=16.
Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ma 2 miejsca zerowe. Dla tego przykładu otrzymujemy x₁=2/3 oraz x₂=2.
Warto zapamiętać pełną zależność między wyróżnikiem a liczbą miejsc zerowych. Gdy Δ<0, funkcja nie ma miejsc zerowych. Gdy Δ=0, ma jedno miejsce zerowe. Gdy Δ>0, ma 2 miejsca zerowe.
Jeżeli potrzebujesz osobnej procedury obliczania wyróżnika i pierwiastków, przydatne są także równania kwadratowe, ponieważ w obu przypadkach korzysta się z tego samego równania kwadratowego. W nierówności trzeba jednak wykonać jeszcze analizę znaków.
Krok 3: określ kierunek ramion
W funkcji f(x)=3x²−8x+4 współczynnik przy x² wynosi a=3. Ponieważ 3>0, ramiona paraboli są skierowane do góry.
To oznacza, że wykres znajduje się nad osią OX po lewej stronie pierwszego miejsca zerowego i po prawej stronie drugiego miejsca zerowego. Pomiędzy miejscami zerowymi leży pod osią OX.
Dla dwóch miejsc zerowych x₁=2/3 i x₂=2 schemat znaków funkcji wygląda więc następująco:
(−∞,2/3) — znak dodatni, x=2/3 — zero, (2/3,2) — znak ujemny, x=2 — zero, (2,∞) — znak dodatni.
Dla a<0 należy odczytać odpowiednie przedziały z wykresu paraboli skierowanej ramionami w dół.
Krok 4: odczytaj przedziały znaków z wykresu
W rozważanym przykładzie nierówność brzmi:
3x²−8x+4<0.
Szukamy tych wartości x, dla których funkcja jest ujemna, czyli wykres znajduje się pod osią OX. Przy a=3>0 dzieje się to między dwoma miejscami zerowymi:
x∈(2/3,2).
Nawiasy są okrągłe, ponieważ nierówność jest ostra: wymaga wartości mniejszej od zera, a nie mniejszej lub równej zeru. W miejscach x=2/3 i x=2 funkcja ma wartość dokładnie zero, więc te wartości nie spełniają warunku.
Jeżeli znak nierówności zmieni się na >0, wybierasz obszary, w których wykres leży nad osią:
x∈(−∞,2/3)∪(2,∞).
Dla funkcji z ramionami skierowanymi w dół sytuacja się odwraca. Przykład −3x²+8x−4≥0 daje przedział między miejscami zerowymi, czyli [2/3,2].
Krok 5: sprawdź końce przedziałów podstawieniem
Ostatni krok chroni przed pomyłką przy zapisie odpowiedzi. Podstaw oba miejsca zerowe do lewej strony nierówności:
f(2/3)=0 oraz f(2)=0.
Jeżeli nierówność ma znak < albo >, zero nie spełnia warunku. Końce przedziałów pozostają wtedy otwarte, na przykład (2/3,2) albo (−∞,2/3)∪(2,∞).
Jeżeli nierówność ma znak ≤ albo ≥, zero spełnia warunek. Końce należy więc domknąć, na przykład [2/3,2]. Ta kontrola przez podstawienie jest szczególnie ważna, gdy wynik powstał po kilku przekształceniach algebraicznych.
| Nierówność | Postać funkcji | Miejsca zerowe | Znak a | Zbiór rozwiązań |
|---|---|---|---|---|
| (3x−4)(x−1)<x | 3x²−8x+4<0 | 2/3; 2 | + | (2/3,2) |
| 3x²−8x+4≤0 | 3x²−8x+4≤0 | 2/3; 2 | + | [2/3,2] |
| 3x²−8x+4>0 | 3x²−8x+4>0 | 2/3; 2 | + | (−∞,2/3)∪(2,∞) |
| −3x²+8x−4≥0 | −3x²+8x−4≥0 | 2/3; 2 | − | [2/3,2] |
Wiersze od 2 do 4 są wariantami opartymi na trójmianie z przykładu CKE; końce są domknięte przy znakach ≤ lub ≥, a otwarte przy < lub >. Artykuł dotyczy standardowych przekształceń algebraicznych; przy zadaniach egzaminacyjnych należy stosować dokładne warunki podane w treści i nie pomijać sprawdzenia dziedziny, jeśli występują ułamki lub pierwiastki.
Zobacz też: funkcja liniowa.
Zobacz też: równania liniowe.
Najczęstsze pytania
Jak rozwiązywać nierówności kwadratowe?
Przenieś wszystkie wyrażenia na jedną stronę, wyznacz miejsca zerowe trójmianu, sprawdź znak współczynnika a, narysuj schemat znaków paraboli i wybierz przedziały zgodne z symbolem nierówności. Na końcu sprawdź granice przez podstawienie.
Kiedy końce przedziału są domknięte?
Końce są domknięte przy znakach ≤ lub ≥, ponieważ wartość zero spełnia nierówność. Przy znakach < lub > końce są otwarte, ponieważ zero nie spełnia nierówności.
Jak odczytać znak funkcji kwadratowej z wykresu?
Odczytaj, gdzie wykres leży nad osią OX — tam f(x)>0 — oraz gdzie leży pod osią OX — tam f(x)<0. Miejsca przecięcia z osią OX są miejscami zerowymi.
Źródła
- Wzory matematyczne — funkcja kwadratowa — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2005, PDF, dział 7: Funkcja kwadratowa
- Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2024/2025 — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2024, PDF, zadanie 19, strony 33–36
Tekst został utworzony przy pomocy sztucznej inteligencji (modeli językowych).
Czy ten poradnik był pomocny? Oceń go:
Ten artykuł nie ma jeszcze ocen.
