Twierdzenie Pitagorasa stosuje się wyłącznie w trójkącie prostokątnym. Gdy a i b są przyprostokątnymi, a c przeciwprostokątną, obowiązuje wzór a² + b² = c². Pozwala on także na obliczanie przeciwprostokątnej oraz brakującej przyprostokątnej, jeśli znane są odpowiednie długości boków.
Twierdzenie Pitagorasa — wzór i oznaczenia
W trójkącie prostokątnym dwa boki tworzą kąt o mierze 90°. Są to przyprostokątne, oznaczane najczęściej literami a i b. Bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna, oznaczana literą c. Jest ona najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Podstawowy wzór Pitagorasa ma postać:
a² + b² = c²
Jeżeli celem jest obliczanie przeciwprostokątnej, wzór trzeba przekształcić, wyciągając pierwiastek kwadratowy:
c = √(a² + b²)
Procedura jest więc prosta: rozpoznaj oba boki przy kącie prostym, podnieś ich długości do kwadratu, dodaj otrzymane wartości i wyciągnij pierwiastek z sumy. W rachunkach warto sprawnie wykonywać potęgowanie i dodawanie; pomocna może być także tabliczka mnożenia.
Oznaczenia można dostosować do rysunku, ale zależność pozostaje taka sama: po lewej stronie równania znajdują się kwadraty przyprostokątnych, a po prawej kwadrat przeciwprostokątnej. Przed rozpoczęciem obliczeń trzeba więc przypisać boki do właściwych ról, zamiast kierować się wyłącznie ich nazwami.
Kiedy można zastosować twierdzenie Pitagorasa?
Najpierw sprawdź, czy rozpatrywany trójkąt ma jeden kąt o mierze 90°. Dopiero wtedy wskaż przeciwprostokątną — jest nią bok naprzeciw tego kąta. Pozostałe dwa boki są przyprostokątnymi i to ich kwadraty występują po lewej stronie równania.
W geometrii szkolnej twierdzenie stosuje się po wykazaniu, że rozpatrywany trójkąt jest prostokątny; samo podobieństwo rysunku lub przybliżony kształt figury nie wystarcza.
Nie wolno wybierać najdłuższego boku wyłącznie na podstawie położenia na rysunku. Trzeba ustalić jego położenie względem kąta prostego. Jeśli kąt 90° znajduje się przy podstawie trójkąta, bok naprzeciw tej podstawy może być przeciwprostokątną. Oznaczenia literowe nie są najważniejsze — ważne są role boków w konkretnym trójkącie.
Jak obliczyć przeciwprostokątną?
Gdy znane są obie przyprostokątne, zastosuj wzór c = √(a² + b²). Przykład wykorzystany przez CKE w zadaniu 37 dotyczy długości 6 cm i 8 cm. Obliczenia przebiegają w następującej kolejności:
- podnieś długości do kwadratu: 6² = 36 oraz 8² = 64;
- dodaj kwadraty: 36 + 64 = 100;
- wyciągnij pierwiastek: c = √100 = 10 cm.
Otrzymany trójkąt ma boki 6 cm, 8 cm i 10 cm. W zadaniu CKE promień miał długość 10 cm, a połowa cięciwy 8 cm. Po oznaczeniu szukanej wysokości przez h zapisano równanie 8² + h² = 10², z którego wynika h² = 36, a następnie h = 6 cm.
Takie rozpisanie ogranicza ryzyko pomylenia dodawania kwadratów z dodawaniem samych długości. Najpierw oblicza się kwadraty, potem ich sumę, a pierwiastek wyciąga dopiero z całego wyniku.
Jak obliczyć brakującą przyprostokątną?
Jeżeli znasz przeciwprostokątną c oraz jedną przyprostokątną a, szukaną długość b wyznaczysz przez odejmowanie:
b = √(c² − a²)
W przykładzie CKE dotyczącym wysokości ściany bocznej ostrosłupa znane są przeciwprostokątna 9 cm i przyprostokątna 4 cm. Równanie ma postać 4² + h² = 9². Po przekształceniu otrzymujemy:
h = √(9² − 4²) = √65 cm
Drugi bok przyprostokątny ma więc długość √65 cm. Nie trzeba zamieniać tego wyniku na przybliżenie dziesiętne, jeśli zadanie wymaga dokładnej postaci z pierwiastkiem. W tym trójkącie przyprostokątne mają długości 4 cm i √65 cm, a przeciwprostokątna 9 cm.
W tym przypadku odejmowanie wynika bezpośrednio z przekształcenia wzoru Pitagorasa. Od kwadratu przeciwprostokątnej odejmuje się kwadrat znanej przyprostokątnej, a dopiero potem wyciąga pierwiastek. Dla danych z przykładu jest to 9² − 4² = 81 − 16 = 65, dlatego szukana długość ma postać √65 cm.
| Źródło/przykład | Pierwsza przyprostokątna | Druga przyprostokątna | Suma kwadratów przyprostokątnych | Przeciwprostokątna |
|---|---|---|---|---|
| Zadanie 37 CKE | 6 cm | 8 cm | 6² + 8² = 36 + 64 = 100 | 10 cm |
| Zadanie 33 CKE | 4 cm | √65 cm | 4² + (√65)² = 16 + 65 = 81 | 9 cm |
Długości podano w centymetrach. W drugim wierszu (√65)² = 65, dlatego suma kwadratów wynosi 81 = 9². Są to konfiguracje wykorzystane w oficjalnym informatorze CKE na rok szkolny 2024/2025.
Kontrola wyniku
Po obliczeniu brakującego boku podstaw otrzymaną długość z powrotem do równania a² + b² = c². W przykładzie z bokami 6 cm i 8 cm sprawdzenie wygląda tak: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Wynik spełnia wzór, więc długość przeciwprostokątnej wynosi 10 cm.
Przy wyniku √65 cm kontrola również może pozostać dokładna: 4² + (√65)² = 16 + 65 = 81 = 9². To pokazuje, że przeciwprostokątna ma długość 9 cm. Kontrola pozwala wykryć przede wszystkim trzy błędy: wybranie niewłaściwego boku jako przeciwprostokątnej, użycie dodawania zamiast odejmowania przy szukaniu przyprostokątnej oraz pominięcie pierwiastka na końcu.
Zobacz też: równania kwadratowe.
Czytaj również: nierówności kwadratowe.
Najczęstsze pytania
Jaki jest wzór twierdzenia Pitagorasa?
Wzór brzmi a² + b² = c², gdzie a i b są przyprostokątnymi, a c jest przeciwprostokątną.
Kiedy można zastosować twierdzenie Pitagorasa?
Tylko w trójkącie prostokątnym, czyli takim, który ma kąt 90°. Przeciwprostokątna musi być bokiem naprzeciw tego kąta.
Jak obliczyć przeciwprostokątną?
Podnieś obie przyprostokątne do kwadratu, dodaj wyniki i wyciągnij pierwiastek: c = √(a² + b²). Dla boków 6 cm i 8 cm otrzymujemy c = √100 = 10 cm.
Źródła
- Informator o egzaminie ósmoklasisty z matematyki od roku szkolnego 2024/2025 — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2024/2025, zadania 33 i 37, strony 54–55 oraz 62–63.
Tekst został utworzony przy pomocy sztucznej inteligencji (modeli językowych).
Czy ten poradnik był pomocny? Oceń go:
Ten artykuł nie ma jeszcze ocen.
