Prędkość średnią oblicza się, dzieląc całą przebytą drogę przez cały czas ruchu: vśr = scałkowita / tcałkowity. Trzeba więc najpierw zsumować wszystkie odcinki drogi i czasy przejazdu, a następnie wykonać jedno dzielenie. Jeśli podróż obejmuje postój, jego czas również może wejść do mianownika.
Prędkość średnia — wzór
Podstawowy prędkość średnia wzór ma postać:
Więcej na ten temat: ruch jednostajnie przyspieszony
Więcej na ten temat: ruch jednostajny prostoliniowy
vśr = scałkowita / tcałkowity
Symbol scałkowita oznacza sumę wszystkich przebytych odcinków drogi, a tcałkowity — sumę czasów przejazdu oraz ewentualnych postojów. Wynik prędkości musi mieć jednostkę wynikającą z użytych danych. Gdy droga jest podana w kilometrach, a czas w godzinach, otrzymasz km/h. Przy drodze w metrach i czasie w sekundach wynikiem będzie m/s.
Przykładowo dla drogi 210 km i czasu 3,5 h prędkość średnia wynosi 60 km/h.
Procedura polega na ustaleniu całej drogi i całego czasu, a następnie podzieleniu drogi przez czas. Nie dziel pojedynczego odcinka przez przypadkowo wybrany czas, jeśli zadanie dotyczy całej trasy.
Prędkość średnia opisuje cały analizowany przedział czasu, natomiast prędkość chwilowa dotyczy konkretnego momentu ruchu. To rozróżnienie wskazuje Aneks do Informatora o egzaminie maturalnym z fizyki CKE z 2022 roku. Samochód może w jednym momencie poruszać się szybciej, a w innym wolniej, ale jego średnią dla całej trasy nadal wyznacza iloraz całej drogi i całego czasu.
Jak obliczyć prędkość średnią na kilku odcinkach
Aby obliczyć prędkość średnią na trasie podzielonej na kilka części, nie uśredniaj od razu podanych prędkości. Najpierw zapisz osobno długości odcinków i czasy ich pokonania. Następnie dodaj wartości należące do tej samej wielkości:
- scałkowita = s1 + s2 + s3 + …
- tcałkowity = t1 + t2 + t3 + …
- vśr = scałkowita / tcałkowity
Jeżeli czasy zapisano w minutach, a droga w kilometrach, przed dzieleniem trzeba doprowadzić jednostki do zgodnej postaci. Przykładowo czas całkowity powinien być wyrażony w godzinach, jeśli oczekujesz wyniku w km/h. Nie zmieniaj tylko jednej wartości: przeliczeniu musi podlegać droga albo czas w taki sposób, aby jednostki tworzyły prawidłowy iloraz.
Taki sposób liczenia dotyczy także trasy, na której zmienia się rodzaj ruchu. Do obliczenia średniej nie trzeba jednak osobno uśredniać tych rodzajów ruchu. Wystarczy znać całkowitą drogę i całkowity czas.
Jeśli podane są wyłącznie długości i czasy, najbezpieczniej rozpocząć od ich sumowania, a dopiero potem obliczyć wynik.
Dlaczego nie zawsze liczymy średnią arytmetyczną
Średnia arytmetyczna prędkości 40 km/h i 80 km/h wynosi 60 km/h, ponieważ:
(40 km/h + 80 km/h) / 2 = 60 km/h
Nie oznacza to jednak, że 60 km/h jest prędkością średnią całej trasy. Taki wynik będzie poprawny tylko w szczególnych warunkach, na przykład wtedy, gdy prędkości 40 km/h i 80 km/h były utrzymywane przez takie same czasy. Gdy jedna z tych prędkości trwała dłużej, powinna mieć większy wpływ na wynik obliczeń.
Przy różnych czasach przejazdu trzeba zastosować właściwy iloraz:
vśr = (s1 + s2) / (t1 + t2)
To właśnie czas, a nie liczba odcinków, decyduje o tym, czy średnia arytmetyczna może być użyta bez dodatkowych obliczeń. W typowym zadaniu pytanie „jak obliczyć prędkość średnią” oznacza więc konieczność ustalenia całej drogi i całego czasu, a nie dodania prędkości i podzielenia sumy przez liczbę odcinków.
Przykład z danych CKE
W przykładzie opisanym przez Centralną Komisję Egzaminacyjną samochód przebył 210 km. Jego rzeczywista średnia prędkość wyniosła 60 km/h. Czas przejazdu można sprawdzić bezpośrednio ze wzoru na czas:
t = s / v = 210 km / 60 km/h = 3,5 h
Wariant hipotetyczny zakładał zwiększenie średniej prędkości o 10 km/h, czyli do 70 km/h. Dla tej samej drogi czas wynosi:
t = 210 km / 70 km/h = 3 h
Różnica między czasami wynosi:
3,5 h − 3 h = 0,5 h
Oznacza to skrócenie przejazdu o 0,5 godziny, czyli o 30 minut. Ten przykład pokazuje, że prędkość średnia na trasie jest powiązana jednocześnie z drogą i czasem. Przy tej samej drodze zwiększenie prędkości z 60 km/h do 70 km/h zmieniło czas z 3,5 h na 3 h.
| Wariant | Droga całkowita | Czas całkowity | Prędkość średnia |
|---|---|---|---|
| Przejazd rzeczywisty | 210 km | 3,5 h | 210 km / 3,5 h = 60 km/h |
| Przejazd hipotetyczny z prędkością większą o 10 km/h | 210 km | 3 h | 210 km / 3 h = 70 km/h |
| Porównanie | 210 km | różnica: 0,5 h | różnica prędkości: 10 km/h |
Wartości pochodzą z zadania opisanego przez CKE; 3,5 h = 3 godziny 30 minut, a 0,5 h = 30 minut. Prędkość średnia obejmuje cały analizowany czas; jeśli postój jest częścią podróży, należy dodać go do mianownika.
Prędkość średnia z postojem
Jeżeli podczas podróży wystąpił postój, droga pozostaje taka sama, lecz całkowity czas się zwiększa. Dla czasu jazdy i czasu postojów zapis stosuje się w postaci:
vśr = scałkowita / (tjazdy + tpostojów)
Przykładowo, przy drodze 210 km i czasie przejazdu 3,5 h każdy dodatkowy czas postoju zwiększy mianownik wzoru, więc prędkość średnia całej podróży będzie niższa niż 60 km/h.
Postój należy dodać do mianownika wtedy, gdy analizujesz całą podróż, od rozpoczęcia przejazdu do jego zakończenia. Ponieważ licznik się nie zmienia, a mianownik staje się większy, obliczona prędkość średnia maleje. Pominięcie postoju dałoby średnią dotyczącą wyłącznie czasu jazdy, a nie całej podróży.
Można też rozróżnić dwa poprawne pytania: prędkość średnia podczas samej jazdy oraz prędkość średnia całej podróży z postojami. W pierwszym przypadku używasz tylko tjazdy. W drugim dodajesz wszystkie postoje. Najważniejsze jest jasne określenie, jaki przedział czasu obejmuje obliczenie.
Jest to model matematyczny do zadań szkolnych; w realnym ruchu drogowym ograniczenia prędkości i zasady bezpieczeństwa mają pierwszeństwo przed wynikiem obliczeń.
Zobacz też: przyspieszenie wzór.
Więcej w tekście: wzór na gęstość.
Najczęstsze pytania
Jaki jest wzór na prędkość średnią?
vśr = scałkowita / tcałkowity. Najpierw dodaj wszystkie odcinki drogi, potem wszystkie czasy, a dopiero na końcu wykonaj dzielenie.
Czy prędkości można uśrednić arytmetycznie?
Nie zawsze. Średnia arytmetyczna jest poprawna tylko w szczególnych warunkach, na przykład gdy każdą z podanych prędkości utrzymywano przez taki sam czas. W typowym zadaniu zastosuj iloraz całej drogi i całego czasu.
Jak obliczyć prędkość średnią z postojem?
Dodaj czas postoju do czasu jazdy: vśr = scałkowita / (tjazdy + tpostojów). Droga pozostaje taka sama, więc uwzględnienie postoju obniża wynik.
Źródła
- Aneks do Informatora o egzaminie maturalnym z fizyki — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2022, wymaganie: odróżnianie prędkości średniej od chwilowej.
- Komentarz do zadań z matematyki — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2025, zadanie 4: 210 km, wzrost prędkości o 10 km/h, skrócenie czasu o pół godziny.
- Aneks do Informatora o egzaminie ósmoklasisty z matematyki — Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2022, wymaganie: obliczanie prędkości przy danej drodze i czasie; jednostki km/h i m/s.
Tekst został utworzony przy pomocy sztucznej inteligencji (modeli językowych).
Czy ten poradnik był pomocny? Oceń go:
Ten artykuł nie ma jeszcze ocen.
